Contoh Tugas Optimasi

Tugas 3/10/2009

SOAL

Gunakan titik awal [6,6],[6,-6],[-6,6],[-6,-6]. Gunakan dua stopping criteria yaitu  abs(sum(grad(x_k)))=epsilon dan

deltax=x_k-(x_k-1)=epsilon.

Epsilon=10e-8.

Fungsi Himmelblau adalah f(x)=(x₁²+x₂-11)²+(x₁+x₂²-7)²

JAWABAN

Penggunaan metode Newton Raphson untuk fungsi Himmelblau menghasilkan output sebagai berikut:

Titikawal (x)	abs(sum(grad(xk)))=epsilon			deltax=xk-(xk-1)=epsilon
	iterasi	Xopt	Fungsi x	iterasi		Xopt	Fungsi x
[6,6]	7	[3.0000    2.0000]	1.3960e-020	8		[3     2]	0
[-6,6]	6	[-2.8051    3.1313]	4.8548e-018	7		[-2.8051    3.1313]			7.8886e-031
[6,-6]	7	[3.5844 -1.8481]	1.5139e-018	8	[3.5844 -1.8481]			0
[-6,-6]	6	[-3.7793 -3.2832]	4.1806e-024	7	[-3.7793 -3.2832]			7.8886e-031

Sedangkan, penggunaan metode Steepest Descent untuk fungsi Himmelblau menghasilkan output sebagai berikut:

Titik awal (x)	abs(sum(grad(xk)))=epsilon			deltax=xk-(xk-1)=epsilon
	iterasi	Xopt	Fungsi x	iterasi		Xopt	Fungsi x
[6,6]	20	[-3.7793 -3.2832]	1.5924e-017	17		[-3.7793 -3.2832]	2.3117e-014
[-6,6]	79	[3.0000    2.0000]	6.3002e-016	64		[3.0000    2.0000]	4.7038e-012
[6,-6]	67	[3.0000    2.0000]	6.3587e-016	52	[3.0000    2.0000]			4.7475e-012
[-6,-6]	24	[-3.7793 -3.2832]	3.0874e-017	21	[-3.7793 -3.2832]			4.8928e-014

Dapat disimpulkan:

1. Jadi, pada Metode Newton Raphson, stopping criteria (abs(sum(grad(x_k)))=epsilon) menyebabkan iterasi menjadi lebih sedikit daripada stopping criteria (deltax=x_k-(x_k-1)=epsilon).


2. Sedangkan, pada metode Steepest Decent, stopping criteria (abs(sum(grad(x_k)))=epsilon) menyebabkan iterasinya menjadi banyak daripada dengan stopping criteria (deltax=x_k-(x_k-1)=epsilon).


3. Metode Newton Raphson menghasilkan iterasi lebih sedikit daripada Steepest Decent.


4. Metode Newton Raphson menghasilkan solusi yang lebih optimal (nilai fungsi (x) kecil) dibandingkan dengan Steepest Decent.

M-file yang digunakan:

1.M-file fungsi Newton dengan stopping criterion 1, abs(sum(himmel1(x)))>10e-8

function xopt=newtonrap(x)
%program untuk Newton-raphson
hasil1=[];
i=1;
while abs(sum(himmel1(x)))>10e-8
xk=x-himmel1(x)*inv(himmel2(x));
x=xk;
hasil=[i xk himmel(xk)];
hasil1=[hasil1;hasil];
i=i+1;
end
xopt=xk
hasil1

2.M-file fungsi Newton dengan stopping criterion 2, deltax=xk-(xk-1)=10e-8

function xopt=newtonrap2(x)
%program untuk Newton-raphson
deltax=[200 200];
hasil1=[];
i=1;
while abs(deltax)>10e-8
xk=x-himmel1(x)*inv(himmel2(x));
deltax=xk-x;
x=xk;
hasil=[i xk himmel(xk)];
hasil1=[hasil1;hasil];
i=i+1;
end
xopt=xk
hasil1

3.M-file fungsi Steepest Decent dengan stopping criterion 1, abs(sum(himmel1(x)))>10e-8

function xopt=steepest(x)
%program untuk Steepest-decent
hasil1=[];
i=1;
alpha=0.01;
while abs(sum(himmel1(x)))>10e-8
xk=x-alpha*himmel1(x);
x=xk;
hasil=[i xk himmel(xk)];
hasil1=[hasil1;hasil];
i=i+1;
end
xopt=xk
hasil1

4.M-file fungsi Steepest Decent dengan stopping criterion 2, deltax=xk-(xk-1)=10e-8

function xopt=steepest2(x)
%program untuk Steepest-decent
deltax=[200 200];
hasil1=[];
i=1;
alpha=0.01;
while abs(deltax)>10e-8
xk=x-alpha*himmel1(x);
deltax=xk-x;
x=xk;
hasil=[i xk himmel(xk)];
hasil1=[hasil1;hasil];
i=i+1;
end
xopt=xk
hasil1

5.M-file fungsi Himmelblau 1

function y = himmel(x)
y = (x(1)^2+x(2)-11)^2+(x(1)+x(2)^2-7)^2

6.M-file fungsi Himmelblau 2

function f = himmel1(x)
f = [4*x(1)^3+4*x(1)*x(2)-42*x(1)+2*x(2)^2-14 2*x(1)^2-26*x(2)+4*x(1)*x(2)+4*x(2)^3-22];

7.M-file fungsi Himmelblau 3

function g = himmel2(x)
g = [12*x(1)^2+4*x(2)-42 4*x(1)+4*x(2); 4*x(1)+4*x(2) 4*x(1)+12*x(2)^2-26];